Lazy loaded image方差分析（ANOVA）

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1. 什么是 ANOVA？

ANOVA（Analysis of Variance，方差分析） 是一种用于比较多个组之间均值差异的统计方法。
它的核心思想是：
将数据的总变异分解为“组间变异”和“组内变异”，并比较两者的相对大小。
如果组间变异远大于组内变异，说明组别之间的均值可能存在显著差异。

2. ANOVA 的基本类型

  1. 单因素方差分析（One-way ANOVA）
      • 仅有一个分类自变量（factor）。
      • 例如：比较三种药物对血压的影响。
  1. 双因素方差分析（Two-way ANOVA）
      • 有两个分类自变量，可检测交互作用。
      • 例如：药物类型 × 性别 对血压的影响。
  1. 重复测量方差分析（Repeated Measures ANOVA）
      • 同一组对象在不同时间或条件下多次测量。
  1. 协方差分析（ANCOVA）
      • 在 ANOVA 中引入一个或多个协变量（连续型变量），控制其影响。

3. 假设前提

在使用 ANOVA 前，需要检查以下假设：
  1. 正态性：每组数据近似服从正态分布（可用 Shapiro-Wilk 检验）。
  1. 方差齐性：各组数据的方差相等（可用 Levene’s test 检验）。
  1. 独立性：各观测值之间相互独立。

4. 统计原理

ANOVA 使用 F 统计量：
F=组间均方组内均方F = \frac{\text{组间均方}}{\text{组内均方}}
  • 组间均方（MSB）：反映组均值之间的差异。
  • 组内均方（MSW）：反映组内个体之间的差异。
当 FF 值足够大，且 p 值 < 显著性水平（如 0.05）时，拒绝原假设（组均值相等）。

5. R 语言实现

5.1 模拟数据

5.2 检查假设

5.3 单因素方差分析

5.4 多重比较（事后检验）

如果 ANOVA 显著，需要事后检验：

5.5 可视化结果

6. 结果解释

  1. ANOVA 表（summary(fit) 输出）
      • Pr(>F) 即 p 值，小于显著性水平（如 0.05）则认为至少有两组存在显著差异。
  1. Tukey 事后检验
      • 显示各组间两两比较的 p 值及置信区间。
  1. 可视化
      • 箱线图、均值 ± 置信区间图等可以直观展示差异。

7. 进阶：双因素 ANOVA

  • 输出中 drug:gender 项表示交互作用效应。

8. 小结

  • ANOVA 适合用于均值比较，比多次 t 检验更稳健（避免多重比较问题）。
  • 必须在正态性和方差齐性假设基本满足的情况下使用。
  • 如果假设不满足，可以考虑：
    • 非参数检验（Kruskal-Wallis）
    • 方差不齐时用 Welch ANOVA
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