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t 检验（t-test）
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1. 核心概念
t 检验是一类用于比较均值差异的统计检验方法，常用于小样本（样本量 < 30）、总体标准差未知的情况下。
它基于 Student’s t 分布，是统计学中最经典的参数检验之一。
历史背景
t 检验由 William Sealy Gosset (1876–1937) 在 1908 年提出。
当时，Gosset 就职于爱尔兰著名啤酒公司 Guinness，为改进啤酒品质，需要在小样本条件下评估酿造批次之间的差异。
由于公司禁止员工以真名发表科研成果，他以笔名 “Student” 在《Biometrika》上发表论文，t 检验因此得名 Student’s t-test。
Gosset 发现，用样本标准差代替总体标准差时，统计量不再服从标准正态分布，
他推导出一种新分布 —— t 分布，具有更厚的尾部，能更好地应对小样本的不确定性。
应用场景
- 判断两组均值是否存在显著差异
- 评估处理效果（如药物 vs 对照组）
- 检验某组均值是否等于给定值
2. t 分布与统计量
t 分布 (Student’s t-distribution)
- 由 William Gosset 1908 年提出，用于描述在总体标准差未知的情况下，样本均值的抽样分布。
- 与标准正态分布类似，但 尾部更厚（heavy-tailed），以补偿小样本带来的不确定性。
- 自由度（df）：
- 对于单样本 t 检验：
- 对于双样本 t 检验（假设方差相等）：
df=n−1
df=n1+n2−2
- 样本量越大，t 分布越接近标准正态分布 (Z 分布)。
- 当 n > 30 时，t 检验结果通常与 Z 检验几乎一致。
t 统计量 (t-statistic)
- 衡量样本均值与零假设均值之间的标准化偏差。
- 通用公式：
- 标准误（Standard Error, SE）：
- 单样本均值：
- 两独立样本均值差异：
- 直观解释：
- t 值绝对值越大，说明样本均值偏离零假设均值越多 → 更有可能拒绝零假设。
3. t 检验类型
t 检验有三种经典形式，适用于不同的研究设计和数据结构。
3.1 单样本 t 检验（One-sample t-test）
- 目的：检验一个样本的均值是否等于某个已知理论值（μ₀）。
- 假设：
- H0: μ = μ₀
- H1: μ ≠ μ₀（双尾）；或 μ > μ₀ / μ < μ₀（单尾）
- 统计量公式：
- 应用示例：
- 药物治疗后患者的平均血压是否与正常值（120 mmHg）有差异。
3.2 独立样本 t 检验（Independent two-sample t-test）
- 目的：比较两个独立样本的均值是否相等。
- 假设：
- H0: μ₁ = μ₂
- H1: μ₁ ≠ μ₂
- 适用场景：
- 两个不同群体（如男性 vs 女性、实验组 vs 对照组）。
- 统计量公式：
- 方差相等（Student’s t-test）：
- 方差不等（Welch’s t-test）：
- 应用示例：
- 比较两种药物在不同患者组中对血压的降低效果是否不同。
3.3 配对样本 t 检验（Paired-sample t-test）
- 目的：比较同一组对象在两种不同条件下的均值差异。
- 假设：
- H0: μ_d = 0
- H1: μ_d ≠ 0
- 统计量公式：
- 应用示例：
- 同一批患者在药物治疗前后的血压差异。
- 同一组学生在两种教学方法下的考试成绩变化。
4. 显著性判断与 p 值
在完成 t 检验后，我们需要根据计算出的 t 统计量 和 自由度 (df) 来判断差异是否显著。显著性检验通过 p 值 (p-value) 来量化。
- 双尾检验：检测均值是否不同
- 单尾检验：检测均值是否大于或小于某值
5. t 检验的前提条件与注意事项
5.1 样本独立性
- 首要条件：观测值必须相互独立。
- 若存在依赖性（例如同一受试者多次测量却未配对处理），t 检验结果会失真。
5.2 正态性假设
- t 检验基于样本均值服从正态分布的假设（由中心极限定理支持）。
- 在小样本下，需检查数据是否接近正态（例如使用 Shapiro-Wilk 检验或 Q-Q 图）。
- 当样本量较大（如 > 30）或两组样本量平衡时：
- 即便变量偏离正态分布，t 检验及其置信区间仍相对稳健。
- 样本越大，结果越接近理论分布。
- 若分布严重偏离正态，可考虑非参数方法（如 Wilcoxon 检验）。
5.3 方差齐性与 Welch t 检验
- 传统的“等方差 t 检验（Student’s t-test）”假设两组总体方差相等。
- 当方差不等时，等方差 t 检验的 p 值可能因为方差差异而显著，而不是真正的均值差异。
- Welch t 检验：
- 无需假设方差相等
- 对方差不齐性和样本量不平衡更稳健
- R 中的
t.test()默认使用 Welch t 检验
5.4 一定需要先做方差齐性检验？
- 有人建议先用 F 检验或 Levene 检验判断方差是否相等，再决定使用哪种 t 检验。
- 研究表明（Rasch et al., 2011；Delacre et al., 2017）：
- 这种做法通常比直接使用 Welch t 检验表现更差。
- 实务建议：
- 不要纠结版本，直接使用 Welch t 检验。
5.5 现代替代方法
- 置换 t 检验 (Permutation t-test)
- 不依赖于正态性假设
- 通过随机置换分组标签，计算统计量分布和 p 值
- 引导 t 检验 (Bootstrap t-test)
- 从原始样本中有放回地抽样，计算统计量
- 用经验分布替代理论 t 分布
- 是传统 t 检验和置换检验的折中方法
- 非参数检验 (Wilcoxon rank-sum test)
- 当数据显著偏离正态时，考虑使用秩和检验
6. t 检验的主要变体（详细版）
6.1 Welch t 检验 vs Student’s t 检验
原理 & 区别
- Student’s t-test 假设两组总体方差相等，用合并方差 sp2s_p^2 计算标准误。
- Welch t-test 不假设方差齐性，直接用两组样本方差，各自对标准误贡献：
- Welch 方法对方差不齐和样本量不平衡更稳健。
适用场景
- 方差齐时：Student’s t-test
- 方差不齐或不确定时：Welch t-test（R 默认）
R 示例
6.2 置换 t 检验（Permutation t-test）
原理
- 计算原始数据的 t 统计量 tobst_{obs}。
- 对 N 次（如 5,000 或 10,000）迭代：
- 随机打乱样本的分组标签
- 重新计算 t 统计量 t∗
优点
- 不依赖正态分布
- 精确控制 I 型错误
何时用
- 样本量中小
- 正态性难以保证
R 示例
6.3 Bootstrap t 检验（Bootstrap t-test）
原理
- 从原始样本中有放回抽取 B 个 bootstrap 样本。
- 每个样本计算统计量（均值差或 t 值）。
- 构建统计量的经验分布，用于：
- 估算 p 值：看经验分布中有多少值与原始统计量同向、同等或更极端
- 计算置信区间：取经验分布的百分位数
优点
- 同时得到 p 值和置信区间
- 适用于任何分布、任何样本量
R 示例
6.4 Wilcoxon 秩和检验（Mann–Whitney U / Wilcoxon rank-sum）
原理
- 对两组所有观测值做排序，比较两组秩和差异。
- 不需要正态分布假设，只需假设两组分布形状相同（中位数对比）。
适用场景
- 数据偏态、有明显离群值
- 样本量小或非正态
R 示例
6.5 Yuen’s 修剪均值 t 检验（Trimmed-mean t-test）
原理
- 对每组数据两端各剔除 α%（如 20%）的极端值 → “修剪均值”。
- 根据修剪后数据计算均值差与 Winsorized 方差，形成 t 统计量。
优点
- 对离群值和重尾分布更稳健
- 保持参数检验的便捷性
R 示例
7. 实际应用建议 (Practical Application Guidance)
在真实分析中，面对不同的数据特征和研究需求，应遵循以下步骤来选择合适的 t 检验或其变体：
7.1 数据初探与前提检查
- 可视化
- 绘制箱线图、直方图或 Q–Q 图，初步判断分布形态和离群值。
- 独立性
- 确保各观测值之间独立。若为配对设计，则使用配对 t 检验或配对变体。
- 正态性检查
- 小样本（n < 30）：用 Shapiro–Wilk 检验或 Q–Q 图检验正态性。
- 大样本（n ≥ 30）：可容忍轻度偏离。
- 方差齐性（仅独立两样本）
- 若样本量大且偏差不严重，可跳过。
- 若想检验，可用 Levene 检验；但实践建议直接使用 Welch t-test。
7.2 方法选择流程
7.3 推荐实践
场景 | 方法 |
单组均值 vs 理论值 | One-sample t-test |
两个独立组，方差齐或大样本 | Welch t-test |
两个独立组，小样本或非正态 | Permutation t-test 或 Wilcoxon 检验 |
配对设计（同一对象前后对比） | Paired t-test 或 Permutation t-test |
存在离群值或重尾 | Yuen’s trimmed t-test |
需同时报出 CI 和 p 值，数据任意分布 | Bootstrap t-test |
7.4 操作提示
- R 默认：
t.test(x, y)使用 Welch t-test（无需var.equal = TRUE）。
- Permutation t-test：使用
coin::oneway_test()，设置distribution = approximate(B=5000)。
- Bootstrap t-test：定义
boot()统计函数，使用boot.ci()获取置信区间。
- 非参数：
wilcox.test()简便，但仅比较中位数秩和。
- 修剪均值：
WRS2::yuen(x ~ group, tr = 0.2)，对离群更稳健。
7.5 小结
- 先验判断：先看设计类型（单样本、独立、配对）。
- 检查前提：正态性、方差齐性、独立性。
- 优先 Welch：避免方差假设纠结。
- 非正态或小样本：使用置换或 Bootstrap。
- 离群值：可用修剪均值检验。
只有在明确理解数据特征和检验假设的基础上，才能选择最恰当的方法，保证结果的可信度与解释力。
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