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单因素逻辑回归
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1. 从回归模型出发
目标
通过建立数学模型，刻画自变量 X（解释变量、预测变量、特征）与因变量 Y（响应变量、结果变量）之间的关系，用于描述、解释或预测。
1.1 回归模型的核心思想
- 形式：
- g(⋅) 为连接函数（link function）
- E[Y∣X] 为条件均值
- β 系数用于衡量 X 对 Y 的影响方向和大小
- 任务：找到一组 β 使模型对数据拟合最好，并对参数进行统计推断（置信区间、假设检验）。
1.2 常见类型
模型类型 | 因变量类型 | 分布假设（误差项或响应分布） | 常用链接函数 | 典型场景 |
线性回归（OLS） | 连续型 | 正态分布，方差齐性 | 恒等（identity） | 血压、体重、实验数据 |
Logistic 回归 | 二分类 | 二项分布 | logit | 疾病有/无，实验成功/失败 |
Probit 回归 | 二分类 | 二项分布 | probit | 信用违约预测 |
Poisson 回归 | 计数 | 泊松分布 | log | 事件次数（如住院次数） |
负二项回归 | 计数（过度离散） | 负二项分布 | log | 事故次数（方差>均值） |
Gamma 回归 | 正且偏态 | Gamma 分布 | log/inverse | 花费、反应时间 |
Cox 回归（比例风险模型） | 生存时间 | 无需指定分布 | 对数风险 | 生存分析 |
1.3 单因素回归（Univariate Regression）
- 定义：一次只放入一个自变量 X，考察其与 Y 的关系。
- 优点：
- 简单直观
- 适合初筛变量
- 缺点：
- 忽略混杂因素，可能高估或低估效应
- 不能直接用于因果推断（仅描述关联）
- 在分类变量水平较多时，可能产生稀疏问题
- 分类变量的某些水平（类别）在数据中样本量非常少，导致模型在估计该水平的系数时不稳定，标准误很大，导致回归系数估计值极端、置信区间很宽、P 值不可靠；在逻辑回归中还可能导致模型不收敛。常见例子比如我们研究“是否患某疾病（Y）”与“职业类型（X）”的关系，职业变量有 10 个水平，其中“宇航员”这一类只有 2 个样本且都未患病，这会让模型在这一水平上无法估计出稳定的效应值。
1.4 单因素与多因素对比
特点 | 单因素回归 | 多因素回归 |
模型复杂度 | 低 | 高 |
混杂控制 | 无 | 可控制已测量的混杂 |
可解释性 | 高 | 较低（系数受其他变量调整影响） |
应用场景 | 初步探索、描述性分析 | 确认性分析、预测建模 |
2. 线性回归：模型、假设与诊断
2.1 模型形式
单因素线性回归的基本形式为：
在单因素回归中，β1 就是我们关心的主要参数。
2.2 关键假设（OLS 经典条件）
- 线性可加性（Linearity & Additivity）
- 含义：在条件均值 E(Y∣X)中，X 与 Y 之间的关系是线性的（可以有截距与斜率），各解释变量效应可加。
- 检查方法：绘制残差-拟合值图、残差-自变量图，看是否存在系统性模式。
- 违反时的处理：加入多项式项（X^2, X^3）、样条函数（
splines包）、或对变量进行变换（对数、平方根等）。
- 独立性（Independence）
- 含义：各观测值相互独立，误差项之间不相关。
- 违反时的典型场景：时间序列数据（自相关）、分组/聚类数据（同组内相关）。
- 修正：
- 时间序列 → 加入滞后项、使用自回归模型
- 聚类数据 → 使用混合效应模型（
lme4::lmer()）、聚类稳健标准误（cluster-robust SE）
- 同方差（Homoscedasticity）
- 含义：误差项的方差不随 X 的取值而改变
- 违反时（异方差）：会导致系数估计仍然无偏，但标准误估计错误，显著性检验可能失真
- 检查方法：残差-拟合值图（漏斗状暗示异方差）、Breusch-Pagan 检验（
lmtest::bptest） - 修正：使用稳健标准误（
sandwich::vcovHC）、变量变换（如 log Y）
- 误差正态性（Normality of Errors）
- 含义：误差项 ε 服从正态分布
- 主要作用：保证在小样本下 t 检验、F 检验的有效性；大样本下可依赖中心极限定理（CLT）
- 检查方法：QQ 图、Shapiro-Wilk 检验
- 修正：
- 对 Y 做变换
- 使用非参数方法（如分位数回归）
- 依赖大样本近似
💡 注意
- 单因素回归中不存在多重共线性（因为只有一个自变量），但依然可能受异常点或高杠杆点影响。
- 高杠杆点（Leverage Points）：X 值远离均值的观测，对回归线斜率有较大影响
- 影响点（Influential Points）：既远离均值，又影响回归结果（可通过 Cook’s distance 检查）
2.3 诊断与修正
问题 | 检查方法 | 修正建议 |
非线性关系 | 残差图、加局部回归曲线 | 多项式项、样条函数 |
异方差 | 残差-拟合值图、BP 检验 | 稳健 SE、变量变换 |
异常值 | Cook’s distance、杠杆值 | 敏感性分析（剔除后重跑） |
误差非正态 | QQ 图、Shapiro 检验 | 变量变换、非参数方法 |
3. 广义线性模型（GLM）：逻辑回归
在第 2 节我们讨论的普通线性回归（OLS），有几个关键前提：
- 因变量 YY 是连续型，且可以取任意实数；
- YY 与自变量 XX 的关系是线性的（在均值层面）；
- 误差项服从正态分布，方差恒定。
这些假设在很多情形下是合理的，比如预测血压、体重、收入等连续数值。
但是——如果我们的因变量不是连续的，而是离散的、二元的、计数的，线性回归会出现问题。
3.1 为什么需要“广义线性模型”？
例子 1：二分类结局
我们想预测患者是否患病（0 = 未患病，1 = 患病）。用线性回归直接拟合会有两个麻烦：
- 预测值可能 < 0 或 > 1，违背概率含义；
- 残差的方差不再恒定，显著性检验和区间估计会失真。
例子 2：计数型结局
比如预测一个月的住院次数（只能是 0,1,2,... 的整数），线性回归会给出负数预测，完全不符合常识。
这时候我们需要一种更通用的回归框架，能处理不同类型的因变量，同时保留“线性预测”的思想——这就是广义线性模型（Generalized Linear Model, GLM）。
3.2 GLM 的三个核心组成部分
GLM 在普通线性回归的基础上做了两点推广，形成了三要素结构：
- 随机部分（Random Component）
- 指定 Y 的分布类型，不再局限于正态分布。
- GLM 允许 Y 来自指数分布族（Exponential Family），包括：
- 正态分布（Normal）→ 连续数据
- 二项分布（Binomial）→ 二分类/比例数据
- 泊松分布（Poisson）→ 计数数据
- Gamma 分布 → 正且偏态的连续数据
- 系统部分（Systematic Component）
- 和线性回归一样，有一个线性预测子：
- 链接函数（Link Function）
- 把因变量的期望值 E(Y) 通过一个函数 g(⋅) 映射到线性预测子：
- 不同类型的数据选择不同的链接函数，确保预测值落在合理范围：
- 恒等函数（identity）→ 普通线性回归
- logit → 逻辑回归（概率数据）
- log → 泊松回归（计数数据）
3.3 从 GLM 到逻辑回归
如果 Y 是二分类（0/1），我们选：
- 分布：二项分布（Binomial）
- 链接函数：logit（对数几率）
- 结果：GLM 就变成了逻辑回归（Logistic Regression）
逻辑回归公式：
优点：
- 预测值 p 永远在 0–1 范围内；
- 系数指数化（exp(β1)）就是优势比 OR，直观易解释。
3.4 小结
- 线性回归 → GLM 的一个特例（正态分布 + 恒等链接）。
- 逻辑回归 → GLM 的一个特例（二项分布 + logit 链接）。
- GLM 框架让我们能用统一的思路处理不同类型的结局变量，只要选对分布和链接函数，就能保证预测值合理、推断可靠。
4. 逻辑回归如何解释？
逻辑回归的拟合结果往往让初学者一头雾水，因为它的系数不是直接告诉你“概率变化了多少”，而是告诉你**对数几率（log odds）**的变化。我们一步步拆开来看。
4.1 系数 β₁、对数几率（log odds）和 OR
- 对数几率的含义
- 几率（odds）是“事件发生概率 / 事件不发生概率”：
- 对数几率（log odds）就是对几率取自然对数：
- 它的取值范围是 (−∞,+∞)，很适合和回归的直线结合。
- 逻辑回归系数 β₁ 表示什么
在公式
中，β1 表示 当 X 增加 1 个单位时，对数几率的变化量。
注意，这不是概率的直接变化，而是 log odds 的变化。
- 从 β₁ 到 OR（优势比）
- 对数几率变化量转成几率变化倍数，需要做指数变换：
- OR > 1：X 增加时，事件发生的几率上升
- OR < 1：X 增加时，事件发生的几率下降
- 例子：β₁ = 0.69 → OR = e^0.69 ≈ 2.0，表示 X 每增加 1 个单位，事件发生的几率是原来的 2 倍。
- 分类变量的情况
- 对于分类自变量，系数和 OR 都是相对于参考组的比较结果。
- 所以在报告时一定要写清楚参考组是哪一类，比如“与 A 组相比，B 组的 OR 为 1.5”。
4.2 从概率角度怎么解释？
直接用 β₁ 或 OR 来解释概率变化不直观，因为概率变化的大小取决于原本的概率水平。
两种更直观的做法是：
- 边际效应（Marginal Effects）
- 平均边际效应（AME）：平均每个观测值的概率变化，然后取平均值。
- 解释更接近“概率增加了多少个百分点”，可用
margins包计算。
- 预测概率曲线
- 固定其他变量，画出 X 变化时预测概率 p 的曲线。
- 优点是直观展示“X 越大，事件发生的概率是怎么变化的”。
4.3 置信区间（CI）与 P 值
- 报告方式
- 通常直接报告 OR 及其 95% CI：
- 这样读者一眼就能看出效应大小和显著性。
- 小样本或稀有事件的注意事项
- 传统 Wald 法的 CI 在这种情况下不稳定；
- 建议用 profile 似然比 CI（
confint()）或 Firth 校正（logistf包）。
- 多重比较
- 如果一次性做了很多单因素逻辑回归，容易出现偶然显著的结果；
- 建议对 P 值做 FDR 校正（
p.adjust(..., method = "BH")）。
5. R 实现与模拟数据（覆盖常见场景）
在前面几节，我们已经分别讨论了单因素线性回归和逻辑回归的原理、假设、诊断与解释。
接下来，我们用 R 来动手实现这些分析，并且故意构造一些常见的数据场景，让你在同一个数据框里就能练习处理：
- 连续自变量：既有线性关系，也可能有弯曲（非线性）关系。
- 类别自变量：包含多个水平，且分布不均衡（模拟现实数据的不平衡情况）。
- 缺失值：模拟实际分析中常见的数据缺口。
- 连续型因变量（Y_lin）：带异方差和几个极端异常值，方便演示线性回归的稳健 SE、异常值诊断。
- 二分类因变量（Y_bin）：带非线性效应和类不平衡，方便演示逻辑回归的非线性处理与分离问题。
5.1 准备与模拟数据
在实际研究中，我们经常会遇到这样的数据特点：
- 有连续变量（如年龄、体重），也有分类变量（如性别、吸烟状态）；
- 类别比例不均衡（比如男性样本比女性多）；
- 有些数据会缺失；
- 结局变量可能是连续的（如血压值）或二分类的（如是否患病）；
- 关系可能不是严格直线，数据中还可能有异方差、异常值等问题。
为了演示后续分析方法，我们用 R 构造一个小型模拟数据集
df，模拟一个“生活方式与健康状况”研究的场景：
设计变量：
- age – 连续自变量，模拟年龄（岁），有少量缺失。
- sex – 分类自变量，模拟性别（Male/Female），比例不均衡。
- bp_sys – 连续因变量，模拟收缩压（mmHg），受年龄、性别影响，并包含异方差和几个极端值。
- hypertension – 二分类因变量，模拟是否高血压（1=是，0=否），与年龄、性别相关，且关系带有非线性。
生成步骤：
- 年龄服从正态分布，并引入部分缺失；
- 性别按设定比例生成；
- 收缩压
bp_sys随年龄和性别变化，方差随年龄增加而增大，并加入极端值；
- 高血压
hypertension根据一个 logit 模型生成，确保概率在 0–1 之间。
这样我们就得到了一个贴近临床/流行病学场景的数据集
df，5.2 单因素线性回归（含稳健 SE 与诊断）
分析目的
我们先研究年龄（age）与收缩压（bp_sys）之间的关系：
- 因变量：收缩压
bp_sys（连续型）
- 自变量：年龄
age（连续型）
- 这是一个典型的单因素线性回归场景，用来看看血压是否随年龄变化而变化。
为什么要做稳健 SE 和诊断？
- 稳健 SE（HC3）：如果残差存在异方差（方差不恒定），传统的标准误可能会低估或高估，从而影响 p 值判断；稳健 SE 在这种情况下能提供更可靠的显著性检验。
- 残差诊断：检查线性假设、同方差性、正态性，以及是否存在异常值/高杠杆点，确保模型结论可靠。
代码实现
怎么看结果？
- 系数解释
- 截距（Intercept）：理论上年龄为 0 时的平均收缩压（在本例中没有直接实际意义，但用于计算预测值）。
- 年龄系数（age）：表示年龄每增加 1 岁，收缩压平均变化的值（单位：mmHg）。
- 例：系数 0.5 表示每多 1 岁，收缩压平均高 0.5 mmHg。
- 稳健 SE 的作用
- 如果稳健 SE 对应的 p 值和经典 SE 的差别很大，说明异方差可能比较明显，这时应优先报告稳健 SE 的结果。
- 残差诊断图
- 左上（残差 vs 拟合值）：看是否有明显曲线趋势（非线性）或漏斗形（异方差）。
- 右上（QQ 图）：看残差是否接近正态分布。
- 左下（尺度-位置图）：进一步检查同方差性。
- 右下（Cook’s 距离）：识别高影响点（可能对回归结果影响很大）。
- 本次模型诊断结果解读
- 目的：检查线性关系假设和同方差性。
- 结果：残差整体分布在 0 附近，没有明显的曲线趋势 → 线性假设大致成立；
- 注意点：个别观测（156、317、490）残差较大，值得关注。
- 目的：检查残差正态性。
- 结果：中间部分贴近对角线，说明大多数残差接近正态；
- 目的：进一步检查同方差性。
- 结果：红线近似水平，残差垂直散布变化不大 → 方差齐性问题不明显；
- 目的：识别高杠杆点和高影响点（可能显著影响模型系数）。
- 结果：大多数点杠杆值很低（<0.01），影响不大；
运行
plot(m1) 后，R 会自动生成 4 张标准诊断图，我们可以依次解读：1. Residuals vs Fitted（残差 vs 拟合值）
水平方向的散布变化不大，漏斗形不明显 → 异方差问题不算严重。
2. Q-Q Residuals（QQ 图）
右上角几个点（490、156、317、57）明显偏离，提示存在极端值或重尾分布。
3. Scale-Location（平方根标准化残差 vs 拟合值）
离群点依然存在。
4. Residuals vs Leverage（残差 vs 杠杆值）
个别点（490、390、56）杠杆值和残差均较高，Cook’s distance 接近警戒线 → 这些点可能对模型结果有较大影响。
5.3 单因素逻辑回归（含分离与边际效应）
分析目的
现在我们想研究年龄（age）与高血压（hypertension）之间的关系：
- 因变量：
hypertension（二分类：0 = 无高血压，1 = 有高血压）
- 自变量：
age（连续型）
- 这是单因素逻辑回归的典型场景，用来探讨年龄与患高血压风险之间的关联。
为什么用逻辑回归？
- 结局变量是二分类，不能直接用线性回归，否则会出现预测概率 <0 或 >1 的问题，还会有异方差。
- 逻辑回归通过logit 变换建模：
确保预测概率 p 在 0–1 之间。
- 系数指数化，也即优势比 OR，方便解释。
代码实现
怎么看结果？
- 系数（log odds）：年龄每增加 1 岁，对数几率增加多少。
- OR：年龄每增加 1 岁，高血压发生的几率相对于无高血压的几率会乘上多少倍。
例如 OR = 1.08 表示每多 1 岁，高血压的几率乘以 1.09（增加 9%）。
- 95% CI：如果区间不包含 1，则说明该变量与结局显著相关（在所设显著性水平下）。
连续变量非线性处理
如果
age 与 logit 的关系不是直线，可以用自然样条或多项式让模型更灵活：完美分离（Perfect Separation）示例
如果某个变量能完全区分有无高血压（比如
sex 恰好只有男性患病），逻辑回归的极大似然估计可能不收敛：应对方法：使用 Firth 校正（
logistf 包）或正则化方法（glmnet 包）。边际效应（Marginal Effects）
边际效应能把 log odds 的结果转换成更直观的“概率变化”：
解释：AME 表示在其他条件相同的情况下，自变量每变化一个单位，平均概率变化多少个百分点。
- 平均边际效应（AME） = 0.007769
- 解释：在其他变量保持不变的情况下，年龄每增加 1 岁，高血压的预测概率平均增加约 0.78 个百分点（0.0078 ≈ 0.78%）
💡 小结
- 逻辑回归更适合二分类结局，系数解释建议用 OR。
- 检查连续自变量与 logit 的关系，必要时用样条处理。
- 遇到完美分离，用 Firth 校正或正则化方法。
- 边际效应可以让结果更直观，尤其是在向非统计背景的读者解释时。
5.4 单因素逻辑回归：诊断与稳健性（只讨论单因素）
5.4.0 最小检查清单（跑完模型后按这个顺序看）
- 连续自变量是否与logit近似线性？
- 有无高影响点/高杠杆？
- 有无**（近乎）完全分离或稀疏单元格**？
- 拟合优度、区分度（AUC）、校准是否可接受？
- 缺失机制是否合理、事件数是否够？
下面用 m2 <- glm(hypertension ~ age, family=binomial(), data=df) 做示范（与 5.3 同一模型）。
5.4.1 连续自变量与 logit 的线性关系
是什么
逻辑回归假设：连续自变量（如
age）与对数几率 log(p/(1-p)) 的关系是“直”的。为什么要管
若不线性，β 和 OR 会偏，显著性与效应大小都可能被误读。
怎么“看”（至少任选其一）
- 分箱法（binned）：把
age分成若干箱，算每箱阳性率p，取log(p/(1-p))对箱均age作图，看是否近似直线。
- Box–Tidwell 思路：在模型里加一项
age*log(age)（只要age>0），检验这项是否显著；显著＝非线性。
- 样条对比：
age的线性模型 vsns(age, df=k)的样条模型，比 AIC/Deviance；样条显著更好＝非线性存在。
怎么“修”
- 轻度弯：加多项式项（
I(age^2)）。
- 形状复杂：用自然样条
splines::ns(age, df=3~4)或用 GAM（mgcv::s(age)）。
- 变量变换（log/√）也可，但优先考虑样条（更灵活、边界更稳）。
5.4.2 影响点、杠杆与离群
是什么
- 标准化残差（Pearson/Deviance）：看 Y 方向“离群”。
- 杠杆值（hat）：X 很偏的点，天然“有能力”拉动拟合。
- Cook’s 距离 / DFBETA：点对系数的实际影响。
为什么要管
少数点可能把 OR“拽歪”，导致结论不稳。
怎么“看”（经验阈值）
- |标准化残差| > 3 → 可疑离群。
- 杠杆 >
2*(p+1)/n（单因素 p=1）→ 高杠杆。
- Cook’s D >
4/n→ 高影响。
- |DFBETA| >
2/√n→ 对该系数影响大。
怎么“修”
- 先核对数据真伪（录入/测量）。
- 做敏感性分析：剔除可疑点重跑，看 OR/CI 是否稳。
- 必要时考虑稳健方法或把非线性建模（有时“异常”其实是模型错配的信号）。
5.4.3 （近乎）完全分离与稀疏单元格
是什么
某个取值/分组几乎或完全把 0/1 分开（例如
age>70 几乎都是高血压）。MLE 会不稳或不收敛，SE 巨大，甚至报“算法没有聚合”。为什么要管
系数会向 ±∞ 漂移，普通 OR 和 P 值都不可靠。
怎么“看”
- 拟合时出现“fitted probabilities 0 or 1”“算法没有聚合”等警告；
- 交叉表里某些格子接近 0（稀疏）。
怎么“修”
- Firth 校正（
logistf::logistf）→ 小样本/分离场景的常用兜底；
- 正则化（
glmnet，加 L2/L1 惩罚）；
- 合并稀疏水平、放宽切点、或收集更多数据。
5.4.4 拟合优度、区分度与校准
拟合优度（overall fit）
- 看 Residual deviance vs Null deviance；
- Hosmer–Lemeshow 检验（
ResourceSelection::hoslem.test(y, p, g=10)）：p>0.05 常被解读为拟合尚可（仅参考，不要唯它论）。
区分度（discrimination）
- ROC/AUC（
pROC::roc(y, p)）：越接近 1 越能区分阳性/阴性。
校准（calibration）
- 预测概率与实际发生率一致吗？做分位数校准图（按预测值分 10 组，画“预测均值 vs 实际比例”）。
- 可报告Brier 分数（均方误差，越小越好）：
mean((p - y)^2)。
读法：区分度强但校准差 → 能排序谁风险高，但概率本身偏；校准好但区分度弱 → 概率总体对，但排序不够好。
5.4.5 缺失与样本量
- 缺失：单因素默认“只要有 NA 就剔除”。若缺失非随机，会有偏；正式分析建议多重插补（
mice），并在文中交代。
- 事件数（EPV）：单因素也别过于极端；阳性/阴性至少都要有一定量（经验上≥10 个事件更安心），否则 CI 极宽、检验不稳。
5.4.6 一段模板代码（把诊断一次跑完）
注：沿用 5.3 的 m2 <- glm(hypertension ~ age, family=binomial(), data=df)。如果没建，先建一个。
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