置信区间 (Confidence Intervals)

1️⃣ 核心概念

• 定义：
给定一个置信水平 1−α，置信区间是一个随机区间，在多次重复抽样中，覆盖总体参数真值的比例为 1−α。

• 常用置信水平：
• 90%
• 95%（最常用）
• 99%

• 解释：
95% 置信区间 ≠ “参数有 95% 概率落在区间内”。
它的真实含义是：如果无限次重复相同的实验，约 95% 的置信区间会包含真实参数。

2️⃣ 精确置信区间与近似置信区间

🔹 精确置信区间 (Exact Confidence Intervals)

• 特点：
• 覆盖率 ≥ 1−α
• 基于精确分布（如二项分布、超几何分布）
• 小样本更准确，避免低估不确定性

• 示例：
Clopper-Pearson 区间，用于二项比例的精确置信区间：

🔹 近似置信区间 (Approximate Confidence Intervals)

• 特点：
• 基于渐近理论（中心极限定理）
• 覆盖率接近 1−α，但可能略低
• 适用于大样本，计算快速

• 示例：
Wald 区间，用于二项比例的近似置信区间：

📊 对比总结

3️⃣ 置信水平与区间宽度的权衡

• 置信水平越高 → 区间越宽
• 例如：90% CI < 95% CI < 99% CI

• 如果我们希望更有把握地覆盖真实参数，就必须扩大区间；

• 但区间过宽会降低实用性（信息量不足）。

• 输出结果显示，随着置信水平提高，置信区间的上下限扩展，宽度增加。

4️⃣ 不同参数的置信区间计算

🔹 均值的置信区间

🔹 比例的置信区间

🔹 方差或标准差的置信区间

🔑 小结

• 置信区间提供了比点估计更直观的不确定性度量。

• 小样本：优先使用 精确置信区间

• 大样本：近似置信区间足够准确

• 置信水平越高，区间越宽 → 需要在 覆盖率 与 区间宽度 之间平衡。